مساحت جانبی استوانه چگونه محاسبه می شود؟ – با مثال و تمرین – فرادرس

اندازه سطح جانبی استوانه، از رابطه زیر به دست می‌آید:

ارتفاع × شعاع × عدد پی × ۲ = مساحت جانبی استوانه

نمایش جبری این رابطه با استفاده از فرمول زیر صورت می‌گیرد:

$$S _ l = ۲ \pi r h$$

• $$S _ l$$
• $$\pi$$: عدد پی
• $$r$$: شعاع قاعده استوانه
• $$h$$: ارتفاع استوانه

گزینه دوم، حجم استوانه است. گزینه سوم، برای محاسبه مساحت دایره یا همان قاعده استوانه استفاد می‌شود. گزینه چهارم نیز رابطه محیط دایره است.

اندازه سطح جانبی استوانه، از رابطه زیر محاسبه می‌شود:

ارتفاع × شعاع × عدد پی × ۲ = مساحت جانبی استوانه

بر اساس اطلاعات و فرضیات مسئله، عدد پی برابر با ۳، ارتفاع استوانه برابر با ۱۵ سانتی‌متر و شعاع قاعده استوانه برابر ۲۸ سانتی‌متر است. این مقادیر را در رابطه بالا قرار می‌دهیم:

۱۵ × ۲۸ × ۳ × ۲ = مساحت جانبی استوانه

۲۵۲۰ = مساحت جانبی استوانه

در نتیجه، مساحت جانبی استوانه برابر با ۲۵۲۰ سانتی‌متر مربع است.

قاعده استوانه، به شکل دایره است. بنابراین، مساحت قاعده دایره‌ای شکل استوانه از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$A = \pi r ^ ۲$$

• $$A$$: مساحت قاعده استوانه
• $$\pi$$: عدد پی برابر با ۳/۱۴
• $$r$$: شعاع قاعده استوانه

با توجه به اطلاعات مسئله، برای محاسبه مساحت قاعده، به شعاع آن نیاز داریم. به منظور تعیین شعاع، دیگر اطلاعات مسئله (مساحت جانبی و ارتفاع) کمک می‌گیریم. فرمول مساحت جانبی استوانه به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$S _ l = ۲ \pi r h$$

• $$S _ l$$
• $$\pi$$: عدد پی برابر با ۳/۱۴
• $$r$$: شعاع قاعده استوانه (مجهول)
• $$h$$: ارتفاع استوانه برابر با ۴ سانتی‌متر

مقادیر معلوم را درون فرمول بالا قرار می‌دهیم و آن را بر حسب $$r$$ حل می‌کنیم:

$$۱۰۰ = ۲ \times ۳/۱۴ \times r \times ۴$$

$$r = \frac { ۱۰۰ } { ۲ \times ۳/۱۴ \times ۴ }$$

$$r = ۳/۹۸$$

شعاع قاعده استوانه برابر با ۳/۹۸ سانتی‌متر است. با جایگذاری این عدد در رابطه مساحت دایره، خواهیم داشت:

$$A = ۳/۱۴ \times ( ۳/۹۸ ) ^ ۲$$

$$A \approx ۴۹/۷۴$$

مساحت قاعده دایره‌ای شکل استوانه، تقریبا برابر با ۴۹/۷۴ سانتی‌متر مربع است. این مقدار، به گزینه دو نزدیک‌تر است.

با برداشتن بالا و پایین قوطی، سطح جانبی آن باقی می‌ماند. اندازه این سطح، از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$S _ l = ۲ \pi r h$$

• $$S _ l$$
• $$\pi$$: عدد پی برابر با ۳/۱۴
• $$r$$: شعاع قاعده قوطی برابر با نصف قطر آن $$(\frac { ۸ } { ۲ } = ۴ cm)$$
• $$h$$: ارتفاع استوانه برابر با ۱۲ سانتی‌متر

$$S _ l = ۲ \times ۳/۱۴ \times ۴ \times ۱۲$$

$$S _ l = ۳۰۱/۵۹$$

$$S _ l \approx ۳۰۲$$

در نتیجه، اندازه سطح جانبی قوطی، تقریبا برابر با ۳۰۲ سانتی‌متر مربع خواهد بود.

پارچه‌ای که برای ساخت جامدادی استفاده شده است، شامل سطح جانبی و قاعده‌های دو طرف این سطح می‌شود. بنابراین، برای محاسبه میزان پارچه مورد استفاده، باید مساحت تمام بخش‌ها را به دست بیاوریم. به عبارت دیگر، مساحت پارچه جامدادی عبارت است از:

مساحت جانبی + مساحت قاعده‌ها = مساحت پارچه جامدادی

به دلیل استوانه‌ای شکل بودن جامدادی، قاعده‌های آن به شکل دایره خواهند بود. از این‌رو، مساحت هر قاعده به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$A _ b = \pi r ^ ۲$$

• $$A _ b$$
• $$\pi$$: عدد پی برابر با $$\frac { ۲۲ } { ۷ }$$
• $$r$$: شعاع قاعده استوانه برابر با ۳/۵ سانتی‌متر

با توجه به مقادیر معلوم، داریم:

$$A _ b = \frac { ۲۲ } { ۷ } \times ۳/۵ ^ ۲$$

$$A _ b = ۳۸/۵$$

مساحت هر قاعده جامدادی برابر با ۳۸/۵ سانتی‌متر مربع است. بنابراین، مساحت دو قاعده آن برابر خواهد بود با:

$$S _ b = ۳۸/۵ \times ۲ = ۷۷$$

مساحت جانبی جامدادی نیز از رابطه زیر به دست می‌‌آید:

$$S _ l = ۲ \pi r h$$

• $$S _ l$$
• $$\pi$$: عدد پی برابر با $$\frac { ۲۲ } { ۷ }$$
• $$r$$: شعاع قاعده جامدادی برابر با ۳/۵ سانتی‌متر
• $$h$$: ارتفاع جامدادی برابر با ۲۰ سانتی‌متر

$$S _ l = ۲ \times \frac { ۲۲ } { ۷ } \times ۳/۵ \times ۲۰$$

$$S _ l = ۴۴۰$$

اندازه سطح جانبی جامدادی برابر با ۴۴۰ سانتی‌متر مربع است. به این ترتیب، مساحت کل جامدادی برابر می‌شود با:

$$S = S _ b + S _ l$$

$$S = ۷۷ + ۴۴۰$$

$$S = ۵۱۷$$

در نتیجه، مساحت پارچه مورد استفاده برای ساخت جامدادی برابر با ۵۱۷ سانتی‌متر مربع است.

در این سوال، به دنبال مساحت جانبی تانکر استوانه‌ای هستیم. برای به دست آوردن این مساحت، به اندازه شعاع قاعده و طول تانکر (ارتفاع استوانه) نیاز داریم. شعاع قاعده تانکر، برابر با نصف قطر آن، یعنی ۱/۲۲ متر است. به دلیل مجهول بودن طول تانکر، آن را با استفاده از فرمول حجم استوانه و اطلاعات مسئله محاسبه می‌کنیم. فرمول محاسبه حجم تانکر به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$V = \pi r ^ ۲ h$$

• $$V$$: حجم تانکر برابر با ۲۸ متر مکعب
• $$r$$: شعاع قاعده استوانه برابر با ۱/۲۲ متر
• $$h$$: ارتفاع استوانه (مجهول)

$$۲۸ = \frac { ۲۲ } { ۷ } \times ۱/۲۲ ^ ۲ \times h$$

$$h = \frac { ۲۸ \times ۷ } { ۲۲ \times ۱/۲۲ ^ ۲ }$$

$$h = ۵/۹۸$$

طول تانکر یا همان ارتفاع استوانه برابر با ۵/۹۸ متر است. اکنون با داشتن این مقدار می‌توانیم مساحت سطح جانبی تانکر را محاسبه کنیم. به این منظور، فرمول زیر را می‌نویسیم:

$$S _ l = ۲ \pi r h$$

• $$S _ l$$
• $$\pi$$: عدد پی برابر با $$\frac { ۲۲ } { ۷ }$$
• $$r$$: شعاع قاعده تانکر برابر با ۱/۲۲ سانتی‌متر
• $$h$$: ارتفاع جامدادی برابر با ۵/۹۸ سانتی‌متر

$$S _ l = ۲ \times \frac { ۲۲ } { ۷ } \times ۱/۲۲ \times ۵/۹۸$$

$$S _ l = ۴۵/۸۵$$

در نتیجه، مساحت جانبی تانکر استوانه‌ای برابر با ۴۵/۸۵ متر مربع است.

برای پاسخ دادن به این سوال، باید مساحت جانبی دو استوانه را به دست بیاوریم. مساحت جانبی استوانه قائم برابر است با:

$$S _ r = ۲ \pi r h$$

• $$S _ r$$
• $$\pi$$: عدد پی برابر با $$\frac { ۲۲ } { ۷ }$$
• $$r$$: شعاع قاعده استوانه قائم با ۲۱ سانتی‌متر
• $$h$$: ارتفاع استوانه قائم برابر با ۱۱ سانتی‌متر

$$S _ r = ۲ \times \frac { ۲۲ } { ۷ } \times ۲۱ \times ۱۱$$

$$S _ r = ۱۴۵۲$$

اندازه سطح جانبی استوانه قائم برابر با ۱۴۵۲ سانتی‌متر مربع است. به منظور محاسبه این اندازه برای استوانه مایل، از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

$$S _ o = ۲ \pi r l$$

• $$S _ o$$
• $$\pi$$: عدد پی برابر با $$\frac { ۲۲ } { ۷ }$$
• $$r$$: شعاع قاعده استوانه مایل برابر با ۲۱ سانتی‌متر
• $$l$$: طول یال استوانه مایل (مجهول)

برای تعیین مساحت جانبی، به اندازه یال استوانه نیاز داریم. این اندازه، از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$l = \frac { h } { \sin \theta }$$

• $$l$$: طول یال استوانه مایل (مجهول)
• $$h$$: ارتفاع استوانه مایل برابر با ۱۱ سانتی‌متر
• $$\theta$$: زاویه انحراف استوانه مایل نسبت به استوانه قائم برابر با ۳۰ درجه

$$l = \frac { ۱۱ } { \sin ۳۰ ^ { \circ } }$$

$$l = \frac { ۱۱ } { \frac { ۱ } { ۲ } }$$

$$l = ۲۲$$

$$S _ o = ۲ \times \frac { ۲۲ } { ۷ } \times ۲۱ \times ۲۲$$

$$S _ o = ۲۹۰۴$$

اندازه سطح جانبی استوانه مایل برابر با ۲۹۰۴ سانتی‌متر مربع است. به این ترتیب، داریم:

$$\frac { S _ o } { S _ r } = \frac { ۲۹۰۴ } { ۱۴۵۲ } = ۲$$

در نتیجه، سطح جانبی استوانه مایل، دو برابر سطح جانبی استوانه قائم است.

برای صاف کردن یک کوچه به طور ۲۰ و عرض ۴ متر، غلتک باید ۴ بار سطح کل کوچه را غلت بزند. مساحت کوچه، برابر است با:

عرض کوچه × طول کوچه = مساحت کوچه

۴ × ۲۰ = مساحت کوچه

۸۰ = مساحت کوچه

مساحت کوچه برابر با ۸۰ متر مربع است. به این ترتیب، داریم:

۸۰ × ۴ = مساحت لازم برای صاف کردن کوچه

۳۲۰ = مساحت لازم برای صاف کردن کوچه

غلتک با چهار بار غلت روی سطح کوچه و پوشش ۳۲۰ متر مربع، می‌تواند کوچه را صاف کند. اکنون می‌خواهیم تعداد چرخش کامل غلتک را به دست بیاوریم. برای این کار، به مساحت جانبی غلتک نیاز داریم. غلتک، یک جسم استوانه‌ای با شعاع قاعده ۵۰ سانتی‌متر (۰/۵ متر) و ارتفاع استوانه ۱ متر است. بنابراین، سطح جانبی آن برابر است با:

ارتفاع × شعاع × عدد پی × ۲ = مساحت جانبی غلتک

۱ × ۰/۵ × ۳/۱۴ × ۲ = مساحت جانبی غلتک

۳/۱۴ = مساحت جانبی غلتک

اندازه سطح جانبی غلتک برابر با ۳/۱۴ متر مربع است. به عبارت دیگر، با یک بار چرخش کامل غلتک بر روی زمین، ۳/۱۴ متر مربع پوشش داده می‌شود. مساحت مورد نیاز برای صاف کردن کوچه برابر با ۳۲۰ متر مربع بود. بنابراین، تعداد چرخش‌ها برابر خواهد بود با:

۳/۱۴ ÷ ۳۲۰ = تعداد چرخش‌ها

۱۰۱/۹۱ = تعداد چرخش‌ها

در نتیجه، اگر غلتک تقریبا ۱۰۲ بار بچرخد، می‌تواند کل کوچه را صاف کند.

با چرخدن چرخ، سطح جانبی آن با زمین برخورد می‌کند. به دلیل استوانه‌ای بودن شکل چرخ خودروها، اندازه سطح جانبی آن‌ها از رابطه زیر به دست می‌آید:

ارتفاع × شعاع × عدد پی × ۲ = مساحت جانبی چرخ

در صورت سوال، ضخامت چرخ داده شده است. این ضخامت، همان ارتفاع استوانه است. به علاوه، شعاع با نصف قطر $$( \frac { ۷۰ } { ۲ } = ۳۵ )$$

۲۰ × ۳۵ × ۳/۱۴ × ۲ = مساحت جانبی چرخ

۴۳۹۶ = مساحت جانبی چرخ

اندازه سطح جانبی چرخ خودرو برابر با ۴۳۹۶ سانتی‌متر مربع است. اگر برای خشک شدن، نیاز به ۱۰ دور چرخش کامل بر روی زمین باشد، مساحت خیس شده زمین برابر می‌شود با:

۴۳۹۶ × ۱۰ = مساحت خیس شدن زمین

۴۳۹۶۰ = مساحت خیس شدن زمین

می‌خواهیم بدنه خارجی (سطح جانبی) و سقف (قاعده بالایی) یک مخزن استوانه‌ای را رنگ کنیم. مساحت ناحیه قابل رنگ برابر است با:

مساحت جانبی مخزن + مساحت قاعده مخزن = مساحت ناحیه قابل رنگ

مخزن به شکل استوانه‌ای به ارتفاع ۵ متر و شعاع قاعده ۳ متر است. بنابراین، می‌توانیم رابطه بالا را به شکل زیر بازنویسی کنیم:

مساحت جانبی استوانه + مساحت قاعده = مساحت ناحیه قابل رنگ

ارتفاع × شعاع × عدد پی × ۲ = مساحت جانبی استوانه

شعاع × شعاع × عدد پی = مساحت قاعده

۵ × ۳ × ۳/۱۴ × ۲ = مساحت جانبی استوانه

۹۴/۲ = مساحت جانبی استوانه

۳ × ۳ × ۳/۱۴ = مساحت قاعده

۲۸/۲۶ = مساحت قاعده

به این ترتیب، مساحت جانبی مخزن برابر با ۹۴/۲ متر مربع و مساحت قاعده آن برابر با ۲۸/۲۶ متر مربع می‌شود. مساحت ناحیه قابل رنگ، از جمع این دو مساحت به دست می‌آید:

۹۴/۲ + ۲۸/۲۶ = مساحت ناحیه قابل رنگ

۱۲۲/۴۶ = مساحت ناحیه قابل رنگ

برای رنگ کردن مخزن، به ۱۲۲/۴۶ متر مربع رنگ‌کاری نیاز داریم. قیمت هر متر مربع رنگ برابر با ۳۰۰۰ تومان است. بنابراین:

۳۰۰۰ × ۱۲۲/۴۶ = هزینه رنگ کردن مخزن

۳۶۷۳۸۰ = هزینه رنگ کردن مخزن

در نتیجه، هزینه رنگ کردن بدنه خارجی و سقف مخزن برابر با ۳۶۷۳۸۰ تومان (حدود سیصد و هفتاد هزار تومان) می‌شود.